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N'ayant pu résoudre les équations de degré supérieur à 4, il proposa sa méthode d'approximation (méthode des tangentes) qui permet un encadrement des racines.
Pour résoudre les équations du 4° degré, Ferrari utilisait une équation auxiliaire de degré 3. Lagrange prouva qu'au delà du 4° degré, l'équation auxiliaire était de degré supérieur à l'équation à résoudre. C'est ainsi qu'il perçut l'intérêt des fonctions symétriques des racines. Pour résoudre les équations de degré supérieur à 4, il proposa une méthode d'approximation (méthode des sécantes ou interpolation linéaire) qui permet un encadrement des racines.
N'ayant pu résoudre les équations de degré supérieur à 4, il proposa sa méthode d'approximation (méthode dichotomique) qui permet un encadrement des racines.
Il pensait pouvoir résoudre par radicaux l'équation du 5° degré, mais il prouva le contraire : l'impossibilité, dans le cas général de résoudre une équation algébrique de degré 5. Sa démonstration utilisait certaines propriétés invariantes des fonctions symétriques des racines. Il démontra le théorème fondamental de l'Algèbre :"Toute équation polynomiale de degré n admet n solutions (en tenant compte des solutions complexes)"
Son but était d'apporter une réponse définitive au problème de la résolution algébrique des équations par radicaux. L'étude ardue des équations polynomiales de degré supérieur à 4 a enfin été clôturé. Il démontra l'impossibilité de résoudre par radicaux les équations de degré supérieur à 4 en développant sa théorie sur les groupes de substitutions, généralisant ainsi les travaux d'Abel à tout n>4.
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